Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA = a căn bậc hai 3

Trang trước Trang sau

Bài 5 trang 62 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = $a \sqrt{3}$ . Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi (a) là mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD).

a) Tìm các giao tuyến của mặt phẳng (a) với các mặt của hình chóp.

b) Các giao tuyến ở câu a tạo thành hình gì? Tính diện tích của hình đó.

Lời giải:

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA = a căn bậc hai 3

a) Ta có:

(SAB) ⊥ (ABCD);

(SAD) ⊥ (ABCD);

Do đó SA ⊥ (ABCD).

(SAB) $\cap$ (SAD) = SA.

Dễ dàng chứng minh được (SAD) ⊥ (SCD).

Vẽ AM ⊥ SD (M $\in$ SD) $\Rightarrow$ AM ⊥ (SCD)

Do đó (ABM) ⊥ (SCD) hay (ABM) là mặt phẳng (α) qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD).

Trong mặt phẳng (SCD) kẻ MN // CD (N $\in$ SC).

Suy ra: MN // AB $\Rightarrow$ MN $\subset$ (α).

Vậy các giao tuyến của (α) với các mặt của hình chóp là AB, BN, NM, MA.

Ta có: MN // AB;AB ⊥ AM (vì AB ⊥ (SAD)).

Suy ra ABNM là hình thang vuông tại A và M.

Tam giác SAD vuông tại A có AM là đường cao nên:

$\frac{1}{A M^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} = \frac{1}{3 a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{4}{3 a^{2}} \Rightarrow A M = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Vì MN // CD nên $\frac{M N}{C D} = \frac{S M}{S D}$

$\Rightarrow \frac{M N}{C D} = \frac{S A^{2}}{S D} \cdot \frac{1}{S D} = \frac{S A^{2}}{S D^{2}} = \frac{S A^{2}}{S A^{2} + A D^{2}} = \frac{3 a^{2}}{4 a^{2}}$

$\Rightarrow M N = \frac{3}{4} C D = \frac{3}{4} a$

$\Rightarrow S_{A B M N} = \frac{1}{2} . A M . (M N + A B) = \frac{1}{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . (\frac{3}{4} a + a) = \frac{7 a^{2} \sqrt{3}}{16}$

Lời giải SBT Toán 11 Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Chân trời sáng tạo khác