Cho hàm số f(x) = x^3 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng –1

Bài 8 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = x³ có đồ thị (C).

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng –1.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 8.

Lời giải:

Hàm số f(x) = x³.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x)³– x³

= x³ + 3x².∆x + 3x(∆x)² + (∆x)³ – x³

= 3x².∆x + 3x(∆x)² + (∆x)³

= ∆x[3x² + 3x.∆x + (∆x)²]

Suy ra $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{Δ x \cdot [3 x^{2} + 3 x \cdot Δ x + {(Δ x)}^{2}]}{Δ x} = 3 x^{2} + 3 x \cdot Δ x + {(Δ x)}^{2} .$

Ta thấy $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} [3 x^{2} + 3 x \cdot Δ x + {(Δ x)}^{2}] = 3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2} = 3 x^{2} .$

Vậy f'(x) = 3x².

a) Ta có f'(–1) = 3.(–1)² = 3 và f(–1) = (–1)³ = –1.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng –1 là:

y = f’(–1)(x – (–1)) + f(–1)

Hay y = 3(x + 1) – 1, tức là y = 3x + 2.

b) Gọi hoành độ của tiếp điểm có tung độ bằng 8 là x₀.

Do tiếp điểm thuộc (C), nên ta có:

f(x₀) = (x₀)³ = 8. Suy ra x₀ = 2.

Ta có: f'(2) = 3.2² = 12.

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 8 là:

y = f’(2)(x – 2) + 8, hay y = 12(x – 2) + 8, tức là y = 12x – 16.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Giải bài tập lớp 11 Cánh diều khác