Bài 50 trang 46 SBT Toán 11 Tập 2

Trang trước Trang sau

Bài 50 trang 46 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số: $f (x) = \frac{9^{x}}{9^{x} + 3} .$

a) Với a, b là hai số thực thỏa mãn a + b = 1. Tính f(a) + f(b).

b) Tính tổng: $S = f (\frac{1}{2 023}) + f (\frac{2}{2 023}) + ... + f (\frac{2 022}{2 023}) .$

Lời giải:

a) Xét $f (x) = \frac{9^{x}}{9^{x} + 3} .$

Ta có: $f (a) = \frac{9^{a}}{9^{a} + 3} .$

Do a + b = 1 nên b = 1 – a.

Suy ra: $f (b) = f (1 - a) = \frac{9^{1 - a}}{9^{1 - a} + 3} = \frac{\frac{9}{9^{a}}}{\frac{9}{9^{a}} + 3}$

$= \frac{\frac{9}{9^{a}}}{\frac{9 + 9^{a} \cdot 3}{9^{a}}} = \frac{9}{9 + 9^{a} \cdot 3} = \frac{3}{3 + 9^{a}} .$

Từ đó ta có: $f (a) + f (b) = \frac{9^{a}}{9^{a} + 3} + \frac{3}{9^{a} + 3} = \frac{9^{a} + 3}{9^{a} + 3} = 1.$

b) Ta thấy: $\frac{1}{2 023} + \frac{2 022}{2 023} = 1;$ $\frac{2}{2 023} + \frac{2 021}{2 023} = 1;$ …; $\frac{1 011}{2 023} + \frac{1 012}{2 023} = 1.$

Nên theo câu a, ta có:

$f (\frac{1}{2 023}) + f (\frac{2 022}{2 023}) = 1;$

$f (\frac{2}{2 023}) + f (\frac{2 021}{2 023}) = 1;$

…;

$f (\frac{1 011}{2 023}) + f (\frac{1 012}{2 023}) = 1.$

Suy ra:

$S = f (\frac{1}{2 023}) + f (\frac{2}{2 023}) + ... + f (\frac{2 022}{2 023})$

$= [f (\frac{1}{2 023}) + f (\frac{2 022}{2 023})] + [f (\frac{2}{2 023}) + f (\frac{2 021}{2 023})] + ...$

$... + [f (\frac{1 011}{2 023}) + f (\frac{1 012}{2 023})]$ (có 1 011 nhóm)

= 1 + 1 + … + 1 (có 1 011 số hạng 1)

= 1 011.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Cánh diều khác