Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CC', C'D', D'A', AA'

Trang trước Trang sau

Bài 42 trang 113 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CC', C'D', D'A', AA'. Chứng minh rằng:

a) Sáu điểm M, N, P, Q, R, S cùng thuộc một mặt phẳng.

b) Các đoạn thẳng MQ, NR, PS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Lời giải:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CC', C'D', D'A', AA'

a) Ta có S và P lần lượt là trung điểm của AA' và CC'.

Suy ra AS=12AA';CP=12AA'.

Mà AA' = CC' và AA' // CC' (do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp)

Nên AS = CP và AS // CP. Do đó, tứ giác ASPC là hình bình hành.

Suy ra AC // SP.

Mặt khác MN // AC (do MN là đường trung bình của tam giác ABC).

Khi đó, MN // SP.

Vậy M, N, P, S cùng thuộc một mặt phẳng.

Ta cũng chứng minh được PQ // CD', CD' // BA', BA' // MS nên PQ // MS.

Do đó Q ∈ (MNPS).

Tương tự ta có QR // MN nên R ∈ (MNPS).

Vậy sáu điểm M, N, P, Q, R, S cùng thuộc một mặt phẳng.

b) Gọi O là giao điểm của các đường chéo hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

Khi đó, O là trung điểm của các đường chéo BD', B'D, AC', A'C.

Ta có tứ giác BND'R là hình bình hành, nên hai đường chéo BD', NR cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Tương tự, ta chứng minh được QM, PS đều nhận O là trung điểm.

Vậy các đoạn thẳng MQ, NR, PS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 11 Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau
Giải bài tập lớp 11 Cánh diều khác