Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng

Trang trước Trang sau

Bài 35 trang 108 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên các đường chéo AC, BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho $\frac{A M}{A C} = \frac{B N}{B F}$ . Qua M vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD tại M', qua N vẽ đường thẳng song song với AB cắt AF tại N'.

a) Chứng minh rằng (MNN') // (CDE).

b) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (AFD). Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng EF tại I. Tính $\frac{F I}{F E}$ , biết $\frac{A M}{A C} = \frac{1}{3}$ .

Lời giải:

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng

a) Ta có MM' // AB và NN' // AB (theo đề bài) nên MM' // NN'.

Suy ra M, M', N', N cùng thuộc một mặt phẳng. (1)

Ta có CD // AB (do ABCD là hình bình hành) và EF // AB (do ABEF là hình bình hành) nên CD // EF, suy ra C, D, F, E cùng thuộc một mặt phẳng.

Do AB // CD nên MM' // CD, mà CD ⊂ (CDE), suy ra MM' // (CDE). (2)

Theo định lí Thalés trong tam giác ACD, ta có $\frac{A M}{A C} = \frac{A M'}{A D}$ (MM' // CD).

Tương tự, trong tam giác AFB có $\frac{B N}{B F} = \frac{A N'}{A F}$ (NN' // AB).

Mà $\frac{A M}{A C} = \frac{B N}{B F}$ (theo đề bài). Do đó, $\frac{A M'}{A D} = \frac{A N'}{A F}$ , từ đó suy ra M'N' // DF.

Mà DF ⊂ (CDE) (do C, D, F, E cùng thuộc một mặt phẳng) nên M'N' // (CDE). (3)

Từ (2) và (3) suy ra (MM'N') // (CDE). (4)

Từ (1) và (4) suy ra (MNN') // (CDE).

b) Ta có AF // BE và AD // BC, từ đó suy ra (ADF) // (BCE).

Khi đó đường thẳng AC cắt ba mặt phẳng song song (ADF), (P), (BCE) lần lượt tại A, M, C; đường thẳng FE cũng cắt ba mặt phẳng trên theo thứ tự tại F, I, E.

Áp dụng định lí Thalés trong không gian, ta có: $\frac{A M}{F I} = \frac{M C}{I E} = \frac{A C}{F E}$ .

Suy ra $\frac{F I}{F E} = \frac{A M}{A C}$ . Mà $\frac{A M}{A C} = \frac{1}{3}$ nên $\frac{F I}{F E} = \frac{1}{3}$ .

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Cánh diều khác