Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là một điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC

Trang trước Trang sau

Bài 4.8 trang 50 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là một điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC, khác B và C. MO cắt cạnh AD tại N.

a) Chứng minh rằng O là trung điểm MN.

b) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm tam giác MNC.

Lời giải:

a) Vì ABCD là hình bình hành tâm O

Nên O là trung điểm của AC và BD và $\hat{A D O} = \hat{C B O}$

Xét ∆ODN và ∆OBM có:

OD = OB (do O là trung điểm của BD),

$\hat{D O N} = \hat{B O M}$ (hai góc đối đỉnh),

$\hat{N D O} = \hat{M B O}$ (do $\hat{A D O} = \hat{C B O}$ )

$\Rightarrow$ ∆ODN = ∆OBM (g.c.g)

$\Rightarrow$ ON = OM (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow$ O là trung điểm của NM.

Vậy O là trung điểm của NM.

b) Vì G là trọng tâm ∆BCD nên $\vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$

$\Rightarrow (\vec{G M} + \vec{M B}) + \vec{G C} + (\vec{G N} + \vec{N D}) = \vec{0}$ (quy tắc hiệu)

$\Rightarrow \vec{G M} + \vec{M B} + \vec{G C} + \vec{G N} + \vec{N D} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{G M} + \vec{G C} + \vec{G N} + (\vec{M B} + \vec{N D}) = \vec{0}$ (*)

Ta có: O là trung điểm của NM (câu a), O là trung điểm của BD (câu a)

$\Rightarrow$ BMDN là hình bình hành

$\Rightarrow \vec{B M} = \vec{N D}$ $\Rightarrow - \vec{M B} = \vec{N D}$

$\Rightarrow \vec{M B} + \vec{N D} = \vec{0}$

Thay vào (*) ta được $\vec{G M} + \vec{G C} + \vec{G N} + \vec{0} = \vec{0}$

Do đó $\vec{G M} + \vec{G C} + \vec{G N} = \vec{0}$

$\Rightarrow$ G là trọng tâm tam giác MNC.

Vậy G là trọng tâm tam giác MNC.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác