Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau trang 46 SBT Toán 10 Tập 1

Trang trước Trang sau

Bài 4 trang 46 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $f (x) = \frac{1}{- x - 5}$ ;

b) f(x) = |3x – 1|.

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là: D = ℝ \ {– 5}.

+ Xét khoảng (– ∞; – 5):

Lấy hai số x₁, x₂ tùy ý thuộc (– ∞; – 5) sao cho x₁ < x₂.

Ta có:

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau trang 46 SBT Toán 10 Tập 1

Vì x₁, x₂ ∈ (– ∞; – 5) nên x₁ + 5 < 0 và x₂ + 5 < 0.

Lại có: x₁ < x₂ nên x₁ – x₂ < 0.

Do đó, f(x₁) – f(x₂) $= \frac{x_{1} - x_{2}}{(x_{1} + 5) (x_{2} + 5)}$ < 0 hay f(x₁) < f(x₂).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; – 5). (1)

+ Xét khoảng (– 5; + ∞):

Lấy hai số x₃, x₄ tùy ý thuộc (– 5; + ∞) sao cho x₃ < x₄.

Ta có:

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau trang 46 SBT Toán 10 Tập 1

Vì x₃, x₄ ∈ (– 5; + ∞) nên x₃ + 5 > 0 và x₄ + 5 > 0.

Lại có: x₃ < x₄ nên x₃ – x₄ < 0.

Do đó, f(x₃) – f(x₄) $= \frac{x_{3} - x_{4}}{(x_{3} + 5) (x_{4} + 5)}$ < 0 hay f(x₁) < f(x₂).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (– 5; + ∞). (2)

Từ (1) và (2) suy ra hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (– ∞; – 5) và (– 5; + ∞).

b) Với 3x – 1 ≥ 0 hay x ≥ $\frac{1}{3}$ , ta có: |3x – 1| = 3x – 1.

Với 3x – 1 < 0 hay x < $\frac{1}{3}$ , ta có: |3x – 1| = – (3x – 1) = – 3x + 1.

Khi đó ta có:

$f (x) = (\begin{matrix} 3 x - 1 k h i x \geq \frac{1}{3} \\ - 3 x + 1 k h i x < \frac{1}{3} \end{matrix})$

Ta xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x) = 3x – 1 trên khoảng $(\frac{1}{3}; + \infty)$ và của hàm số h(x) = – 3x + 1 trên khoảng $(- \infty; \frac{1}{3})$ .

+ Lấy hai số x₁, x₂ tùy ý thuộc khoảng $(\frac{1}{3}; + \infty)$ sao cho x₁ < x₂:

Ta có: f(x₁) – f(x₂) = (3x₁ – 1) – (3x₂ – 1) = 3(x₁ – x₂) < 0 (do x₁ < x₂ nên x₁ – x₂ < 0).

Suy ra f(x₁) < f(x₂).

Vậy hàm số g(x) đồng biến trên $(\frac{1}{3}; + \infty)$ hay f(x) đồng biến trên $(\frac{1}{3}; + \infty)$ . (1)

+ Lấy hai số x₃, x₄ tùy ý thuộc khoảng $(- \infty; \frac{1}{3})$ sao cho x₃ < x₄:

Ta có: f(x₃) – f(x₄) = (– 3x₃ + 1) – (– 3x₄ + 1) = 3(x₄ – x₃) > 0 (do x₃ < x₄ nên x₄ – x₃ > 0).

Suy ra f(x₃) > f(x₄).

Vậy hàm số h(x) nghịch biến trên $(- \infty; \frac{1}{3})$ hay f(x) nghịch biến khoảng $(- \infty; \frac{1}{3})$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng $(- \infty; \frac{1}{3})$ và đồng biến trên khoảng $(\frac{1}{3}; + \infty)$ .

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Chân trời sáng tạo khác