Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R

Trang trước Trang sau

Bài 3 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho AM và BN cắt nhau tại I như Hình 5.

a) Chứng minh $\vec{AI} . \vec{AM} = \vec{AI} . \vec{AB}$ ; $\vec{BI} . \vec{BN} = \vec{BI} . \vec{BA}$ .

b) Tính $\vec{AI} . \vec{AM} + \vec{BI} . \vec{BN}$ theo R.

Lời giải:

a) AB là đường kính nên $\hat{AMB}$ = $\hat{ANB}$ = 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ).

AM ⊥ MB và AN ⊥ NB.

Ta có: $\vec{AI}$ . $\vec{AM}$ = $\vec{AI}$ . ( $\vec{AB}$ + $\vec{BM}$ ) = $\vec{AI}$ . $\vec{AB}$ + $\vec{AI}$ . $\vec{BM}$

Mà AI ⊥ BM do AM ⊥ MB nên $\vec{AI}$ . $\vec{BM}$ = 0.

Như vậy $\vec{AI}$ . $\vec{AM}$ = $\vec{AI}$ . $\vec{AB}$ + 0 = $\vec{AI}$ . $\vec{AB}$ .

Tương tự ta có: $\vec{BI}$ . $\vec{BN}$ = $\vec{BI}$ . ( $\vec{BA}$ + $\vec{AN}$ ) = $\vec{BI}$ . $\vec{BA}$ + $\vec{BI}$ . $\vec{AN}$

Mà BI ⊥ AN do AN ⊥ NB nên $\vec{BI}$ . $\vec{AN}$ = 0.

Như vậy $\vec{BI}$ . $\vec{BN}$ = $\vec{BI}$ . $\vec{BA}$ + 0 = $\vec{BI}$ . $\vec{BA}$ .

b) Ta có:

$\vec{AI} . \vec{AM} + \vec{BI} . \vec{BN}$ = $\vec{AI}$ . $\vec{AB}$ + $\vec{BI}$ . $\vec{BA}$ = $\vec{AI}$ . $\vec{AB}$ – $\vec{BI}$ . $\vec{AB}$ = $\vec{AB}$ . ( $\vec{AI}$ – $\vec{BI}$ )

= $\vec{AB}$ . ( $\vec{AI}$ + $\vec{IB}$ ) = $\vec{AB}$ . $\vec{AB}$ = $\vec{AB}$ ² = 4R².

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Chân trời sáng tạo khác