Giải bài 47 trang 219 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao

Luyện tập (trang 219)

Bài 47 (trang 219 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao):

a) Cho f(x)=tanx. Tính f⁽ⁿ⁾(x)với n=1,2,3

b) Chứng minh rằng nếu f(x) = sin²x thì f⁽⁴ⁿ⁾(x) = -2^{4n -1}cos2x (1)

Lời giải:

a) f’(x) = 1 + tan²x

f’’(x) = 2tanx(1 + tan²x) = 2tanx + 2tan³x

f⁽³⁾(x) = 2(1 + tan²x) + 2.3tan²x(1 + tan²x)

= 2+ 2tan²x + 6tan²x+ 6tan⁴x = 2+ 8tan²x+ 6tan⁴x

b) Với n=1 ta có

f'(x) = 2sinx.cosx = sin2x

f’’(x) = 2cos2x

f⁽³⁾(x) = -4sin2x

f⁽⁴⁾(x) = -8cos2x

Vậy (1) đúng với n=1

Giả sử (1) đúng với n=k tức là :f^(4k)(x) = -2^{4k -1}cos2x

Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1, thật vậy ta có:

f^(4k+1)(x) = (f^4k(x)) = 2^4ksin2x

f^(4k+2)(x) = 2^4k+1cos2x

f^(4k+3)(x) = -2^4k+2sin2x

f^(4k+4)(x) = -2^4k+3cos2x

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n.

Các bài giải bài tập Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao Bài Luyện tập (trang 219) Chương 5 khác:

luyen-tap-trang-219.jsp

Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học