Bài 2.16 trang 45 Chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Bài 2.16 trang 45 Chuyên đề Toán 12: Một khu vực hình tròn có bán kính 20 m được bao quanh bởi một lối đi bộ (như hình vẽ). Một bóng đèn được lắp ở trên đỉnh cột nằm ở tâm của khu vực. Hỏi độ cao của cột đèn là bao nhiêu thì sẽ chiếu sáng mạnh nhất cho lối đi bộ? Biết rằng cường độ chiếu sáng được cho bởi công thức $I = \frac{\sin θ}{s},$ trong đó s là khoảng cách từ nguồn sáng và θ là góc mà ánh sáng chiếu vào bề mặt.

Lời giải:

Gọi x (m) là chiều cao của đèn, x > 0.

Khi đó, ta có: s² = x² + 20² = x² + 400 và $\sin θ = \frac{x}{s} .$

Cường độ chiếu sáng của đèn là: $I = \frac{\sin θ}{s} = \frac{\frac{x}{s}}{s} = \frac{x}{s^{2}} = \frac{x}{x^{2} + 400} .$

Xét hàm số $I = \frac{x}{x^{2} + 400},$ trên khoảng (0; +∞).

Đạo hàm của hàm số I là: $I^{'} = \frac{x^{2} + 400 - x \cdot 2 x}{{(x^{2} + 400)}^{2}} = \frac{400 - x^{2}}{{(x^{2} + 400)}^{2}} .$

Ta có I’ = 0 ⇔ 400 – x² = 0 ⇔ x = 20 (do x > 0).

Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (0; +∞).

Bài 2.16 trang 45 Chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức

Từ bảng biến thiên, ta có $\max_{(0; + \infty)} f (x) = 0, 025$ khi x = 20.

Vậy độ cao của cột đèn là 20 mét thì sẽ chiếu sáng mạnh nhất cho lối đi bộ.

Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 12 Bài tập cuối chuyên đề 2 hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học