Luyện tập 4 trang 32 chuyên đề Toán lớp 11 Cánh diều

Trang trước Trang sau

Luyện tập 4 trang 32 chuyên đề Toán lớp 11: Trong Ví dụ 8, chứng minh rằng hai hình OMGE và COEN đồng dạng với nhau.

Luyện tập 4 trang 32 chuyên đề Toán lớp 11 Cánh diều | Giải Chuyên đề Toán 11

Lời giải:

Luyện tập 4 trang 32 chuyên đề Toán lớp 11 Cánh diều | Giải Chuyên đề Toán 11

+) Vì O là giao hai đường chéo của hình vuông ABCD nên AC và BD vuông góc với nhau tại O và O là trung điểm của AC và BD, lại có AC = BD nên suy ra OA = OB = OC = OD.

Tam giác OBC cân tại O (OB = OC) có ON là đường trung tuyến nên ON là đường phân giác, suy ra $\hat{C O N} = \hat{B O N} = \frac{\hat{B O C}}{2} = \frac{90 °}{2} = 45 °$ .

Tương tự ta chứng minh được $\hat{B O M} = 45 °$ hay $\hat{E O M} = 45 °$ .

Trên tia ON, lấy điểm C' sao cho OC' = OC. Trên tia OB, lấy điểm N' sao cho ON' = ON. Trên tia OM, lấy điểm E' sao cho OE' = OE.

Lại có $\hat{C O C'} = \hat{C O N} = 45 °$ , $\hat{N O N'} = \hat{B O N} = 45 °$ và $\hat{N O N'} = \hat{B O N} = 45 °$ .

Mà phép quay với góc quay 45° có chiều quay ngược chiều kim đồng hồ.

Do đó, ta có phép quay tâm O với góc quay 45° biến các điểm C, O, E, N tương ứng thành các điểm C'¸O, E', N' nên phép quay tâm O với góc quay 45° biến hình COEN thành hình C'OE'N' (1).

+) Giả sử hình vuông ABCD có cạnh là a.

Khi đó BD = AC = a $\sqrt{2}$ , OB = OC = $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ , ON = $\frac{A B}{2} = \frac{a}{2}$ .

Suy ra $O E = \frac{O B}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{4}$ , OC' = OC = $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ , ON' = ON = $\frac{a}{2}$ .

Suy ra $\frac{O E}{O N'} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{O N}{O C'} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , do đó $\frac{O E}{O N'} = \frac{O N}{O C'} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Qua E, kẻ đường thẳng song song với E'N' cắt OM tại F, suy ra EF // E'N' nên theo định lí Thales trong tam giác OE'N' ta có $\frac{O F}{O E'} = \frac{O E}{O N'} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Từ đó suy ra $\frac{O N}{O C'} = \frac{O E}{O N'} = \frac{O F}{O E'} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $\vec{O N} = \frac{\sqrt{2}}{2} \vec{O C'}$ , $\vec{O E} = \frac{\sqrt{2}}{2} \vec{O N'}$ , $\vec{O F} = \frac{\sqrt{2}}{2} \vec{O E'}$ .

Như vậy, ta có phép vị tự tâm O với tỉ số $\frac{\sqrt{2}}{2}$ biến các điểm C'¸O, E', N' tương ứng thành các điểm N, O, F, E hay phép vị tự tâm O với tỉ số $\frac{\sqrt{2}}{2}$ biến hình C'OE'N' thành hình NOFE (2).

+) Tam giác NOB vuông cân tại N có NE là đường trung tuyến nên NE cũng là đường cao và NE = $\frac{O B}{2}$ = OE, suy ra $\hat{N E O} = 90 °$ và EN = EO.

Tương tự, ta chứng minh được $\hat{M E O} = 90 °$ và EM = EO.

Ta chứng minh được EFMG là hình vuông nên $\hat{F E G} = 90 °$ và EF = EG.

Mà phép quay với góc quay – 90° có chiều quay cùng chiều kim đồng hồ.

Do đó, ta có phép quay tâm E với góc quay – 90° biến các điểm N, O, F, E tương ứng thành các điểm O, M, G, E hay phép quay tâm E với góc quay – 90° biến hình NOFE thành hình OMGE (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra hai hình OMGE và COEN đồng dạng với nhau.

Lời giải Chuyên đề Toán 11 Bài 2: Phép đồng dạng hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học