Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp

Bài 8 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp:

${(a + b)}^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + ... + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$

với n ∈ ℕ^*.

Lời giải:

+) Với n = 1, ta có: (a + b)¹ = a + b = $C_{1}^{0} a^{1} + C_{1}^{1} b^{1} .$

Vậy công thức đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh công thức cũng đúng với k + 1, tức là:

${(a + b)}^{k + 1} = C_{k + 1}^{0} a^{k + 1} + C_{k + 1}^{1} a^{(k + 1) - 1} b + ... + C_{k + 1}^{(k + 1) - 1} a b^{(k + 1) - 1} + C_{k + 1}^{k + 1} b^{k + 1} .$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${(a + b)}^{k} = C_{k}^{0} a^{k} + C_{k}^{1} a^{k - 1} b + ... + C_{k}^{k - 1} a b^{k - 1} + C_{k}^{k} b^{k} .$

Khi đó:

Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp (ảnh 1)

Vậy công thức cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ^*.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học