Không sử dụng MTCT, chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên

Trang trước Trang sau

Bài 3.19 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Không sử dụng MTCT, chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên:

$P = (\frac{\sqrt{5} + 1}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} - 1}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{5}}) (\sqrt{3} - \frac{4}{\sqrt{3}} + 2) \sqrt{0,2}$

Lời giải:

Ta có:

$\frac{\sqrt{5} + 1}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} - 1}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$

$= \frac{(\sqrt{5} + 1) (1 + \sqrt{3} - \sqrt{5}) + (\sqrt{5} - 1) (1 + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{(1 + \sqrt{5} + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3} - \sqrt{5})}$

$= \frac{(\sqrt{5} + 1) [(1 + \sqrt{3}) - \sqrt{5}] + (\sqrt{5} - 1) [(1 + \sqrt{3}) + \sqrt{5}]}{[(1 + \sqrt{3}) + \sqrt{5}] [(1 + \sqrt{3}) - \sqrt{5}]}$

$= \frac{(1 + \sqrt{3}) [(\sqrt{5} + 1) + (\sqrt{5} - 1)] + \sqrt{5} . [- (\sqrt{5} + 1) + (\sqrt{5} - 1)]}{{(1 + \sqrt{3})}^{2} - 5}$

$= \frac{2 \sqrt{5} (1 + \sqrt{3}) - 2 \sqrt{5}}{4 + 2 \sqrt{3} - 5}$ $= \frac{2 \sqrt{5} (1 + \sqrt{3} - 1)}{2 \sqrt{3} - 1}$

$= \frac{2 \sqrt{5} . \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} - 1} = \frac{2 \sqrt{15}}{2 \sqrt{3} - 1}$

$\sqrt{3} - \frac{4}{\sqrt{3}} + 2 = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} + 4 + 2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{- 1 + 2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Do đó $P = \frac{2 \sqrt{15}}{2 \sqrt{3} - 1} . \frac{2 \sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}} . \sqrt{0,2} = 2 \sqrt{5.0,2} = 2 \sqrt{1} = 2$

Vậy P có giá trị là một số nguyên (P = 2).

Lời giải SBT Toán 9 Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Kết nối tri thức khác