Cho Hình 32 có góc BAC = 90 độ, AH vuông góc với BC tại H, góc xAB = góc BAH, Ay là tia đối của tia Ax

Trang trước Trang sau

Bài 40 trang 81 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho Hình 32 có $\hat{B A C} = 90 °$ , AH vuông góc với BC tại H, $\hat{x A B} = \hat{B A H}$ , Ay là tia đối của tia Ax. BD và CE vuông góc với xy lần lượt tại D và E. Chứng minh:

a) AC là tia phân giác của góc Hay;

b) BD + CE = BC;

c) DH vuông góc với HE.

Cho Hình 32 có góc BAC = 90 độ, AH vuông góc với BC tại H, góc xAB = góc BAH, Ay là tia đối của tia Ax

Lời giải:

Cho Hình 32 có góc BAC = 90 độ, AH vuông góc với BC tại H, góc xAB = góc BAH, Ay là tia đối của tia Ax

a) •Ta có $\hat{x A y} = \hat{x A B} + \hat{B A C} + \hat{C A y}$

Hay $180 ° = \hat{x A B} + 90 ° + \hat{C A y}$

Suy ra $\hat{C A y} = 90 ° - \hat{x A B}$

•Ta có $\hat{B A H} + \hat{C A H} = \hat{B A C} = 90 °$

Nên $\hat{C A H} = 90 ° - \hat{B A H}$

Mà $\hat{x A B} = \hat{B A H}$ (giả thiết)

Suy ra $\hat{C A H} = \hat{C A y}$

Do đó AC là tia phân giác của $\hat{H A y}$

Vậy AC là tia phân giác của $\hat{H A y}$ .

b)• Xét ∆ABD và ∆ABH có:

$\hat{A D B} = \hat{A H B} (= 90 °)$ ,

AB là cạnh chung,

$\hat{D A B} = \hat{H A B}$ (giả thiết),

Do đó ∆ABD = ∆ABH (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra BD = BH , AD = AH (các cặp cạnh tương ứng).

• Xét ∆ACE và ∆ACH có:

$\hat{A E C} = \hat{A H C} (= 90 °)$ ,

AC là cạnh chung,

$\hat{C A H} = \hat{C A E}$ (chứng minh câu a),

Do đó ∆ACE = ∆ACH (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra CE = CH, AE = AH (các cặp cạnh tương ứng).

•Ta có BC = BH + CH

Mà BD = BH, CE = CH.

Do đó BC = BD + CE.

Vậy BC = BD + CE.

c) Gọi I là giao điểm của AB và DH, K là giao điểm của EH và AC.

• Xét ∆ADI và ∆AHI có:

AD = AH (chứng minh câu b),

$\hat{D A I} = \hat{H A I}$ (do $\hat{x A B} = \hat{B A H}$ ),

AI là cạnh chung.

Do đó ∆ADI = ∆AHI (c.g.c).

Suy ra $\hat{A D I} = \hat{A H I}$ (hai góc tương ứng).

Hay $\hat{A D H} = \hat{A H D}$ .

• Xét ∆AHK và ∆AEK có:

AH = AE (chứng minh câu b),

$\hat{H A K} = \hat{E A K}$ (do $\hat{H A C} = \hat{E A C}$ ),

AK là cạnh chung

Do đó ∆AHK = ∆AEK (c.g.c)

Suy ra $\hat{A H K} = \hat{A E K}$ (hai góc tương ứng).

Hay $\hat{A H E} = \hat{A E H}$ .

Xét ∆ADH có: $\hat{A D H} + \hat{A H D} + \hat{H A D} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác).

Mà $\hat{A D H} = \hat{A H D}$ nên $\hat{A H D} = \frac{180 ° - \hat{H A D}}{2}$

Xét ∆AEH có: $\hat{A E H} + \hat{A H E} + \hat{H A E} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\hat{A H E} = \hat{A E H}$ nên $\hat{A H E} = \frac{180 ° - \hat{H A E}}{2}$

Ta có

$\hat{D H E} = \hat{A H D} + \hat{A H E} = \frac{180 ° - \hat{H A D}}{2} + \frac{180 ° - \hat{H A E}}{2}$

$= \frac{360 ° - (\hat{H A D} + \hat{H A E})}{2} = \frac{360 ° - 180 °}{2} = 90 °$

Suy ra DH ⊥ HE.

Vậy DH ⊥ HE.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 7 Cánh diều khác