Cắt bỏ hình quạt AOB (hình phẳng có nét gạch trong hình dưới đây)

Trang trước Trang sau

Bài 1.67 trang 36 SBT Toán 12 Tập 1: Cắt bỏ hình quạt AOB (hình phẳng có nét gạch trong hình dưới đây) từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau để được một cái phễu có dạng của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu (0 < x < 2π).

a) Hãy biểu diễn bán kính đáy r và đường cao h của hình nón theo P và x.

b) Tính thể tích của hình nón theo R và x.

c) Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

Lời giải:

a) Vì độ dài của đường tròn đáy hình nón bằng độ dài $\overset{⏜}{A B}$ của quạt tròn dùng làm phễu nên ta có: 2πr = Rx ⇔ r = $\frac{R x}{2 π}$ .

Mặt khác h = $\sqrt{R^{2} - r^{2}}$ = $\sqrt{R^{2} - \frac{R^{2} x^{2}}{4 π^{2}}}$ = $\frac{R}{2 π} \sqrt{4 π^{2} - x^{2}}$ .

b) Thể tích của hình nón là:

V = $\frac{1}{3} π r^{2} h$ = $\frac{R^{3}}{24 π^{2}} x^{2} \sqrt{4 π^{2} - x^{2}}$ , 0 < x < 2π.

c) Ta cần tìm x ∈ (0; 2π) sao cho thể tích V đạt giá trị lớn nhất.

Xét hàm số f(x) = $\frac{R^{3}}{24 π^{2}} x^{2} \sqrt{4 π^{2} - x^{2}}$ , x ∈ (0; 2π).

Ta có: f'(x) = $\frac{R^{3}}{24 π^{2}} . \frac{x (8 π^{2} - 3 x^{2})}{\sqrt{4 π^{2} - x^{2}}}$

f'(x) = 0 ⇔ x = $\frac{2 π \sqrt{6}}{3}$ ≈ 1,63π.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Cắt bỏ hình quạt AOB (hình phẳng có nét gạch trong hình dưới đây)

Hình nón có thể tích lớn nhất khi x = $\frac{2 π \sqrt{6}}{3}$ ≈ 1,63π.

Khi đó: $\max_{x \in (0; 2 π)} V = f (\frac{2 π \sqrt{6}}{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{27} π R^{3}$ .

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 12 Bài tập cuối chương 1 hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 Kết nối tri thức khác