Chứng tỏ rằng một thùng hình trụ có thể tích V cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất

Trang trước Trang sau

Bài 1.45 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1: Chứng tỏ rằng một thùng hình trụ có thể tích V cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất (tức là có diện tích về mặt nhỏ nhất) khi chiều cao của thùng gấp đôi bán kính đáy.

Lời giải:

Gọi bán kính đáy của thùng hình trụ là r. Suy ra, chiều cao của thùng hình trụ là $\frac{V}{π r^{2}}$ .

Diện tích bề mặt của thùng hình trụ là S = 2πr² + $\frac{2 π r V}{π r^{2}}$ = 2πr² + $\frac{2 V}{r}$ , r > 0.

Ta có: S' = 2πr² – $\frac{2 V}{r^{2}}$ = $\frac{4 π r^{3} - 2 V}{r^{2}}$

S' = 0 ⇔ r = $\sqrt[3]{\frac{V}{2 π}}$ .

Bảng biến thiên của hàm số:

Chứng tỏ rằng một thùng hình trụ có thể tích V cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất

Từ bảng biến thiên: S đạt giá trị nhỏ nhất khi r = $\sqrt[3]{\frac{V}{2 π}}$ , khi đó chiều cao của hình trụ là 2. $\sqrt[3]{\frac{V}{2 π}}$ = 2r.

Đây là điều cần chứng minh.

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 12 Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 Kết nối tri thức khác