Gọi C là đồ thị của hàm số y = x^3 − 2x^2 +1 Viết phương trình tiếp tuyến của C sao cho

Trang trước Trang sau

Bài 4 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x³− 2x² +1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó

a) Song song với đường thẳng y = −x + 2;

b) Vuông góc với đường thẳng $y = - \frac{1}{4} x - 4$ ;

c) Đi qua điểm A(0; 1).

Lời giải:

Ta có $y^{'} = (x^{3} - 2 x^{2} + 1)^{'} = 3 x^{2} - 2.2 x = 3 x^{2} - 4 x$ .

a) Gọi d₁ là tiếp tuyến cần tìm của (C) và M₀(x₀; y₀) là tiếp điểm của (C) và d₁.

Vì d₁ song song với đường thẳng y = −x + 2 nên $y^{'} (x_{0}) = - 1$ .

Suy ra $3 x_{0}^{2} - 4 x_{0} = - 1 \Leftrightarrow 3 x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 1 = 0 \Leftrightarrow x_{0} = 1$ hoặc $x_{0} = \frac{1}{3}$ .

− Với $x_{0} = 1$ , phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_{0} (1; 0)$ có hệ số góc $y^{'} (1) = - 1$ là:

$y - y_{0} = y^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$

$\Leftrightarrow y - 0 = - 1 (x - 1)$ $\Leftrightarrow y = - x + 1$ .

− Với $x_{0} = \frac{1}{3}$ , phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_{0} (\frac{1}{3}; \frac{22}{27})$ có hệ số góc $y^{'} (\frac{1}{3}) = - 1$ là:

$y - y (\frac{1}{3}) = y^{'} (\frac{1}{3}) (x - \frac{1}{3})$

$\Leftrightarrow y - \frac{22}{27} = - 1 (x - \frac{1}{3})$

$\Leftrightarrow y = - x + \frac{31}{27}$

Vậy tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = −x + 2 là: $d_{1} : y = - x + 1$ và $d_{2} : y = - x + \frac{31}{27}$ .

b) Gọi d₁ là tiếp tuyến cần tìm của (C) và M₀(x₀; y₀) là tiếp điểm của (C) và d₁.

Vì d₁ vuông góc với đường thẳng $y = - \frac{1}{4} x - 4$ nên $y^{'} (x_{0}) . (- \frac{1}{4}) = - 1 \Leftrightarrow y^{'} (x_{0}) = 4$ .

Suy ra $3 x_{0}^{2} - 4 x_{0} = 4 \Leftrightarrow 3 x_{0}^{2} - 4 x_{0} - 4 = 0 \Leftrightarrow x_{0} = 2$ hoặc $x_{0} = - \frac{2}{3}$ .

− Với $x_{0} = 2$ , phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_{0} (2; 1)$ có hệ số góc $y^{'} (2) = 4$ là:

$y - y_{0} = y^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$

$\Leftrightarrow y - 1 = 4 (x - 2)$

$\Leftrightarrow y = 4 x - 7$ .

− Với $x_{0} = - \frac{2}{3}$ , phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_{0} (- \frac{2}{3}; - \frac{5}{27})$ có hệ số góc $y^{'} (- \frac{2}{3}) = 4$ là:

$y - y (- \frac{2}{3}) = y^{'} (- \frac{2}{3}) (x + \frac{2}{3})$

$\Leftrightarrow y - (- \frac{5}{27}) = 4 (x + \frac{2}{3})$

$\Leftrightarrow y = 4 x + \frac{67}{27}$

Vậy tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = −x + 2 là: $d_{1} : y = 4 x + 9$ và $d_{2} : y = 4 x + \frac{67}{27}$ .

c) Gọi d₁ là tiếp tuyến cần tìm của (C) đi qua điểm A(0; 1) tại tiếp điểm M(x₀;f(x₀)).

Phương trình tiếp tuyến d₁ của (C) có dạng:

$y - y_{0} = y^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$

$\Leftrightarrow y = y^{'} (x_{0}) x + y_{0} - y^{'} (x_{0}) x_{0}$

$\Leftrightarrow y = (3 {x_{0}}^{2} - 4 x_{0}) x + ({x_{0}}^{3} - 2 {x_{0}}^{2} + 1) - (3 {x_{0}}^{2} - 4 x_{0}) x_{0}$

$\Leftrightarrow y = (3 {x_{0}}^{2} - 4 x_{0}) x + (- 2 {x_{0}}^{3} + 2 {x_{0}}^{2} + 1)$

Vì d₁ đi qua điểm A(0; 1) nên

$1 = (3 {x_{0}}^{2} - 4 x_{0}) .0 + (- 2 {x_{0}}^{3} + 2 {x_{0}}^{2} + 1)$

$\Leftrightarrow 1 = - 2 {x_{0}}^{3} + 2 {x_{0}}^{2} + 1$

$\Leftrightarrow 0 = - 2 {x_{0}}^{3} + 2 {x_{0}}^{2}$

$\Leftrightarrow x_{0} = 1$ ; $x_{0} = 0$

− Với $x_{0} = 1$ , phương trình đường thẳng d₁ là:

$y = ({3.1}^{2} - 4.1) x + 1 = - x + 1$ .

− Với $x_{0} = 0$ , phương trình đường thẳng d₁ là:

$y = ({3.0}^{2} - 4.0) x + 1 = 1$ .

Vậy tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1) là: $d_{1} : y = - x + 1$ và $d_{2} : y = 1$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài 1: Đạo hàm hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Chân trời sáng tạo khác