Cho hình chóp S.ABCD. Gọi α1, α2, α3, α4 lần lượt là góc giữa các đường thẳng SA, SB, SC, SD và mặt phẳng (ABCD)

Trang trước Trang sau

Bài 31 trang 100 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi α₁, α₂, α₃, α₄ lần lượt là góc giữa các đường thẳng SA, SB, SC, SD và mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng:

SA = SB = SC = SD ⇔ α₁ = α₂ = α₃ = α₄.

Lời giải:

Gọi O là hình chiếu của S trên (ABCD) hay SO ⊥ (ABCD).

Mà OA, OB, OC, OD đều nằm trên (ABCD) nên SO ⊥ OA, SO ⊥ OB, SO ⊥ OC, SO ⊥ OD.

Suy ra: bốn tam giác SAO, SBO, SCO, SDO vuông tại O nên các góc $\hat{S A O}$ , $\hat{S B O}, \hat{S C O,}$ $\hat{S D O}$ đều lớn hơn 0° và nhỏ hơn 90°.

Vì O là hình chiếu của S trên (ABCD), ta suy ra: $α_{1} = \hat{S A O}$ và 0° < α₁ < 90°.

Xét tam giác SAO vuông tại O có: $\sin α_{1} = \sin \hat{S A O} = \frac{S O}{S A}$ .

Chứng minh tương tự, ta cũng có:

· $\sin α_{2} = \sin \hat{S B O} = \frac{S O}{S B}$ (0° < α₂ < 90°).

· $\sin α_{3} = \sin \hat{S C O} = \frac{S O}{S C}$ (0° < α₃ < 90°).

· $\sin α_{4} = \sin \hat{S D O} = \frac{S O}{S D}$ (0° < α₄ < 90°).

Như vậy: SA = SB = SC = SD $\Leftrightarrow \frac{S O}{S A} = \frac{S O}{S B} = \frac{S O}{S C} = \frac{S O}{S D}$

⇔ sinα₁ = sinα₂ = sinα₃ = sinα₄

⇔ α₁ = α₂ = α₃ = α₄ (vì 0° < α₁ < 90°; 0° < α₂ < 90°; 0° < α₃ < 90°; 0° < α₄ < 90°)

Vậy SA = SB = SC = SD ⇔ α₁ = α₂ = α₃ = α₄.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Cánh diều khác