Trong các số tự nhiên từ 1 đến 999 999, có bao nhiêu số chứa đúng một chữ số 1

Trang trước Trang sau

Bài 8.12 trang 55 Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Trong các số tự nhiên từ 1 đến 999 999, có bao nhiêu số chứa đúng một chữ số 1 và đúng một chữ số 2.

a) Có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái của từ “KHIÊNG” thành một dãy kí tự gồm 6 chữ cái khác nhau (có thể là vô nghĩa) ?

b) Cùng câu hỏi như a) nhưng yêu cầu hai chữ cái đầu tiên là các phụ âm ?

c) Giống câu hỏi a) nhưng yêu cầu các phụ âm phải đứng liên tiếp với nhau.

Lời giải:

Từ “KHIÊNG” có 6 chữ cái khác nhau. Do đó, số cách sắp xếp 6 chữ cái khác nhau vào 6 vị trí theo yêu cầu là:

6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 (cách).

Từ “KHIÊNG” có 4 phụ âm là K, H, N và G. Việc sắp xếp 6 chữ cái thoả mãn yêu cầu hai chữ cái đầu tiên là các phụ âm có thể được thực hiện qua hai công đoạn:

– Công đoạn 1: chọn 2 trong số 4 phụ âm để xếp vào hai vị trí đầu tiên;

– Công đoạn 2: xếp 6 – 2 = 4 chữ cái còn lại vào 4 vị trí tiếp theo.

Xét công đoạn 1:

Số các cách chọn ra 2 trong 4 phụ âm để xếp vào hai vị trí đầu tiên là:

$A_{4}^{2} = \frac{4!}{(4 - 2)!} = \frac{4.3.2!}{2!} = 4.3 = 12$ (cách).

Xét công đoạn 2: Xếp 6 – 2 = 4 chữ cái còn lại vào 4 vị trí tiếp theo.

Số các cách xếp 4 chữ cái còn lại vào 4 vị trí tiếp theo là: 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 (cách).

Theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp cần tìm là:

12 . 24 = 288 (cách).

Có 4 phụ âm trong từ “KHIÊNG” và ta yêu cầu chúng phải đứng liên tiếp nhau, do đó có ba phương án cho vị trí của các phụ âm:

– Phương án 1: vị trí các phụ âm (từ trái qua phải) là 1, 2, 3, 4;

– Phương án 2: vị trí các phụ âm (từ trái qua phải) là 2, 3, 4, 5;

– Phương án 3: vị trí các phụ âm (từ trái qua phải) là 3, 4, 5, 6.

+) Đối với phương án 1, việc xếp các chữ cái được thực hiện qua hai công đoạn:

– Công đoạn 1: xếp 4 phụ âm vào các vị trí 1, 2, 3, 4;

– Công đoạn 2: xếp 2 nguyên âm vào 2 vị trí còn lại.

Số các cách xếp 4 phụ âm vào 4 vị trí là:

4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 (cách).

Số các cách xếp 2 nguyên âm vào 2 vị trí còn lại là:

2! = 2 . 1 = 2 (cách).

Vậy, theo quy tắc nhân thì số cách xếp theo phương án 1 là:

24 . 2 = 48 (cách).

+) Đối với phương án 2, việc xếp các chữ cái được thực hiện qua hai công đoạn:

– Công đoạn 1: xếp 4 phụ âm vào các vị trí 2, 3, 4, 5;

– Công đoạn 2: xếp 2 nguyên âm vào 2 vị trí còn lại.

Số các cách xếp 4 phụ âm vào 4 vị trí là:

4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 (cách).

Số các cách xếp 2 nguyên âm vào 2 vị trí còn lại là:

2! = 2 . 1 = 2 (cách).

Vậy, theo quy tắc nhân thì số cách xếp theo phương án 2 là:

24 . 2 = 48 (cách).

+) Đối với phương án 3, việc xếp các chữ cái được thực hiện qua hai công đoạn:

– Công đoạn 1: xếp 4 phụ âm vào các vị trí 3, 4, 5, 6;

– Công đoạn 2: xếp 2 nguyên âm vào 2 vị trí còn lại.

Số các cách xếp 4 phụ âm vào 4 vị trí là:

4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 (cách).

Số các cách xếp 2 nguyên âm vào 2 vị trí còn lại là:

2! = 2 . 1 = 2 (cách).

Vậy, theo quy tắc nhân thì số cách xếp theo phương án 3 là:

24 . 2 = 48 (cách).

Vì thế, theo quy tắc cộng thì số cách xếp thoả mãn là:

48 + 48 + 48 = 144 (cách).

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác