Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai

Bài 50 trang 17 SBT Toán 10 Tập 1: Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó:

a) A: “∀n ∈ ℕ^*, n > $\frac{1}{n}$ ”;

b) B: “∃x ∈ ℤ, 2x + 3 = 0”;

c) C: “∃x ∈ ℚ, 4x² – 1 = 0”;

d) D: “∀n ∈ ℕ, n² + 1 không chia hết cho 3”.

Lời giải:

a) Mệnh đề phủ định của mệnh đề A: “∀n ∈ ℕ^*, n > $\frac{1}{n}$ ” là mệnh đề $\bar{A}$ : “∃n ∈ ℕ^*, n ≤ $\frac{1}{n}$ ”.

Vì n ∈ ℕ^* nên 1 ≤ n ⇔ $\frac{1}{n} \leq \frac{n}{n} = 1 \leq n$ .

Suy ra n ≥ $\frac{1}{n}$ ∀n ∈ ℕ^*. Do đó mệnh đề A sai và mệnh đề $\bar{A}$ đúng.

b) Mệnh đề phủ định của mệnh đề B: “∃x ∈ ℤ, 2x + 3 = 0” là mệnh đề $\bar{B}$ : “∀x ∈ ℤ, 2x + 3 ≠ 0”.

Xét 2x + 3 = 0

⇔ x = $- \frac{3}{2}$

Mà $- \frac{3}{2} \notin ℤ$

Do đó không tồn tại số nguyên x thỏa mãn 2x + 3 = 0.

Suy ra mệnh đề B sai và mệnh đề $\bar{B}$ đúng.

c) Mệnh đề phủ định của mệnh đề C: “∃x ∈ ℚ, 4x² – 1 = 0” là mệnh đề $\bar{C}$ : “∀x ∈ ℚ, 4x² – 1 ≠ 0”.

Xét phương trình: 4x² – 1 = 0

⇔ 4x² = 1

⇔ x² =

⇔ $(\begin{matrix} x = - \frac{1}{2} \\ x = \frac{1}{2} \end{matrix})$

Mà $- \frac{1}{2}; \frac{1}{2} \in ℚ$ nên tồn tại số hữu tỉ $x = - \frac{1}{2}$ hoặc $x = \frac{1}{2}$ thỏa mãn 4x² – 1 = 0.

Do đó mệnh đề C đúng, mệnh đề $\bar{C}$ sai.

d) Mệnh đề phủ định của mệnh đề D: “∀n ∈ ℕ, n² + 1 không chia hết cho 3” là mệnh đề $\bar{D}$ : “∃n ∈ ℕ, n² + 1 chia hết cho 3”.

Ta xét các trường hợp sau của n:

TH1. n chia hết cho 3: n = 3k (k ∈ ℕ)

⇒ n² + 1 = 9k² + 1 không chia hết cho 3.

TH2. n chia cho 3 dư 1: n = 3k + 1 (k ∈ ℕ)

⇒ n² + 1 = 9k² + 6k + 1 + 1 = 9k² + 6k + 2 không chia hết cho 3.

TH2. n chia cho 3 dư 2: n = 3k + 2 (k ∈ ℕ)

⇒ n² + 1 = 9k² + 12k + 4 + 1 = 9k² + 12k + 5 không chia hết cho 3.

Suy ra n² + 1 không chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n.

Do đó mệnh đề D đúng và mệnh đề $\bar{D}$ sai.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Giải bài tập lớp 10 Cánh diều khác