Giải Toán 8 VNEN Bài 10: Hình thoi – Hình vuông

1 (Trang 5 Toán 103 VNEN Tập 1)

Luyện tập

Quan sát hình 81. Dựa vào dữ kiện đã cho (về cạnh và góc) thì hình nào trong số các hình sau là hình thoi? Vì sao?

Lời giải:

i) Tứ giác HIKG là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau.

ii) Tứ giác MNOL là hình thoi vì nó là hình bình hành có một đường chéo là phân giác của góc mà nó đi qua đỉnh.

iii) Tứ giác UVXY không phải là hình thoi.

iv) Tứ giác PQRS là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau (có thể chứng minh qua các tam giác bằng nhau).

2 (Trang 104 Toán 8 VNEN Tập 1)

Luyện tập

Quan sát hình 84. Dựa vào các dữ kiện đã cho (về cạnh và góc) thì hình nào trong số các hình sau là hình vuông? Vì sao?

Lời giải:

i) Tứ giác ABCD là hình vuông vì nó là hình thoi có một góc vuông.

ii) Không đủ dữ kiện để kết luận tứ giác EFGH là hình thoi.

iii) Tứ giác MNPQ là hình thoi vì nó là hình chữ nhật (hai đường chéo bằng nhau) có hai đường chéo vuông góc với nhau.

iv) Tứ giác URST là hình thoi vì nó là hình chữ nhật (hai đường chéo bằng nhau) có hai cạnh kề bằng nhau.

1 (Trang 106 Toán 8 VNEN Tập 1)

a) Dùng thước và compa để vẽ một hình thoi.

b) Dùng thước và compa để vẽ một hình vuông.

Lời giải:

a)

b)

2 (Trang 106 Toán 8 VNEN Tập 1)

Giải các bài toán sau:

a) Cho hình chữ nhật DEGH. Gọi M, N, P, Q tương ứng là trung điểm của các cạnh DE, EG, GH, HD. Chứng minh rằng MNPQ là hình thoi.

b) Cho hình thoi PQRS. Gọi A, B, C, D tương ứng là các trung điểm của các cạnh PQ, QR, RS, SP. Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.

c) Cho hình vuông ABCD. Gọi U, V, T, Z tương ứng là các trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng UVTZ là hình vuông.

Lời giải:

a)

Xét ΔDMQ, có: M là trung điểm DE và Q là trung điểm DH

⇒ MQ là đường trung bình của ΔDMQ ⇒ QM = EH. (1)

Xét ΔHEG, có: N là trung điểm EG và P là trung điểm HG

⇒ PN là đường trung bình của ΔHEG ⇒ PN = EH. (2)

Từ (1) và (2) ⇒ QM = PN = EH. (*)

Chứng minh tương tự, ta có: QP = MN = DG. (**)

Mà DEGH là hình chữ nhật nên HE = DG.(***)

Từ (*), (**) và (***) ⇒ MNPQ là hình thoi (đpcm).

b)

Xét ΔQPR, có: A là trung điểm PQ và B là trung điểm QR

⇒ AB là đường trung bình của ΔQPR ⇒ AB // PR. (1)

Xét ΔPSR, có: D là trung điểm PS và C là trung điểm SR

⇒ CD là đường trung bình của ΔPSR ⇒ CD // PR. (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AB // CD // PR. (*)

Chứng minh tương tự, ta có: AD // BC // QS. (**)

Mà PQRS là hình thoi nên QS ⊥ PR (***)

Từ (*), (**) và (***) ⇒ ABCD là hình chữ nhật (đpcm).

c)

Xét ΔADB, có: Z là trung điểm AD và U là trung điểm AB

⇒ ZU là đường trung bình của ΔABD ⇒ ZU // BD và ZU = BD. (1)

Xét ΔBCD, có: V là trung điểm BC và T là trung điểm DC

⇒ VT là đường trung bình của ΔBCD ⇒ TV // BD và TV = BD. (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ZU // BD // TV và TV = ZU = BD. (*)

Chứng minh tương tự, ta có: UV // ZT // AC và UV = ZT = AC. (**)

Mà ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD và AC = BD (***)

Từ (*), (**) và (***) ⇒ UVTZ là hình vuông (đpcm).

3 (Trang 106 Toán 8 VNEN Tập 1)

Mỗi câu sau đây đúng hay sai? Vì sao?

a) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

b) Tứ giác có hai góc đối bằng 90^o là hình thoi.

c) Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Lời giải:

a) Đúng;

b) Sai, vì tứ giác có hai góc đối bằng 90^o là hình chữ nhật;

c) Đúng.

4 (Trang 5 Toán 8 VNEN Tập 1)

Cho tam giác ABC vuông tại A. AD là phân giác của góc A, D thuộc BC. Gọi E, F tương ứng là hình chiếu vuông góc của D trên AB, AC. Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

Vì DF ⊥ CA mà EA ⊥ AC ⇒ DF // AE ⇒ (so le trong).

Lại có: AD là phân giác

AFD là tam giác cân tại F ⇒ FA = FD. (1)

Xét ΔAFD và ΔDEA, có:

AD chung

⇒ ΔAFD = ΔDEA (g.c.g) ⇒ DF = EA và FA = DE (2).

Từ (1) và (2) ⇒ FA = FD = EA = DE hay AEDF là hình thoi

Mà AEDF là hình vuông.

5 (Trang 106 Toán 8 VNEN Tập 1)

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE.

a) Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?

b) Tứ giác EMFN là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

a) Vì E là trung điểm AB nên AE = EB = AB

Mà AB = 2AD hay AB = AD ⇒ AE = AD. (1)

Xét hình chữ nhật ABCD, có: E là trung điểm AB và F là trung điểm CD

⇒ EF là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD ⇒ EF // AD

Lại có AD ⊥ DC và AD ⊥ AB ⇒ EF ⊥ DF và EF ⊥ AE

⇒ AEFD là hình chữ nhật. (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AEFD là hình vuông.

b) Tứ giác DEBF có EB // DF và EB = DF nên AEBF là hình bình hành ⇒ DE // BF hay ME // NF.

Chứng minh tương tự, ta có: AF // EC hay MF // EN.

⇒ MENF là hình bình hành. (3)

Theo câu a, ADFE là hình vuông nên ME = MF và ME ⊥ MF. (4)

Từ (3) và (4) ⇒ EMFN là hình vuông.

Xem thêm các bài Giải bài tập Toán lớp 8 chương trình VNEN hay khác:

• Bài 6: Hình thang
• Bài 7: Luyện tập
• Bài 8: Hình bình hành - Hình chữ nhật
• Bài 9: Luyện tập
• Bài 11: Luyện tập

---