Sách bài tập Toán 8 Bài 10: Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước

Bài 124 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB, kẻ tia Ax bất kỳ, lấy các điểm C, D, E sao cho AC = CD = DE. Qua C, D kẻ đường thẳng song song với BE. Chứng minh rằng đoạn thẳng AB bị chia ra ba phân bằng nhau.

Lời giải:

Gọi giao điểm của các đường thẳng kẻ từ C và D song song với BE cắt AB tại M và N.

Ta có: AC = CD = DE (gt)

CM // DN // BE

Theo tính chất đường thẳng song song cách đều, ta có:

AM = MN = NB

Bài 125 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Cho góc vuông xOy, điểm A nằm trên tia Oy, điểm B di chuyển trên tia Ox. Gọi C là điểm đối xứng với A qua B. Điểm C di chuyển trên đường nào?

Lời giải:

Vì điểm C đối xứng với điểm A qua điểm B nên BA = BC

Kẻ CH ⊥ Ox

Xét hai tam giác vuông AOB và CHB, ta có:

∠(AOB) = ∠(CHB ) = 90^o

BA = BC ( chứng minh trên)

∠(ABO ) = ∠(CBH) ( đối đỉnh)

Suy ra ΔAOB = Δ CHB ( cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ CH = AO

Vì A, O cố định nên OA không đổi suy ra CH không đổi

Vì C thay đổi cách Ox một khoảng bằng OA không đổi nên C chuyển động trên đường thẳng song song với Ox, cách Ox một khoảng bằng OA.

Khi B trùng O thì C trùng với điểm K đối xứng với A qua điểm O.

Vậy C chuyển động trên tia Kz // Ox, cách Ox một khoảng không đổi bằng OA.

Bài 126 trang 96 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi I là trung điểm của AM. Điểm I di chuyển trên đường nào?

Lời giải:

Kẻ AH ⊥ BC,IK ⊥ BC ⇒ AH // IK

Trong ΔAHM, ta có:

AI = IM (gt)

IK // AH ( chứng minh trên)

Suy ra IK là đường trung bình của ΔAHM

⇒ IK = 1/2 AH

ΔABC cố định nên AH không thay đổi ⇒ IK = 1/2 AH không đổi.

I thay đổi cách BC một khoảng bằng AH/2 không đổi nên I nằm trên đường thẳng song song với BC, cách BC một khoảng bằng AH/2

Khi M trùng với điểm B thì I trùng với điểm P là trung điểm của AB.

Khi M trùng với điểm C thì I trùng với điểm Q là trung điểm của AC.

Vậy khi M di chuyển trên cạnh BC của ΔABC thì trung điểm I của AM chuyển động trên đường trung bình PQ của ΔABC

Bài 127 trang 96 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh BC. GỌi D,E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC.

a. So sánh độ dài AM, DE.

b. Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để DE có độ dài nhỏ nhất

Lời giải:

a. Xét tứ giác ADME, ta có:

∠A = 90^o (gt)

MD ⊥ AB (gt)

⇒ ∠(MDA ) = 90^o

ME ⊥ AC (gt)

⇒ ∠(MEA ) = 90^o

Suy ra tứ giác ADME là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông)

⇒ AM = DE ( tính chất hình chữ nhật)

b. Ta có: AH ⊥ BC nên AM ≥ AH (quan hệ đường vuông góc và đường xiên)

Dấu “=” xảy ra khi M trùng với H

Mà DE = AM ( chứng minh trên)

Vậy DE có độ dài nhỏ nhất bằng AH khi M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC

Bài 128 trang 96 SBT Toán 8 Tập 1: Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d. Điểm M di chuyển trên đường thẳng d. Gọi B là điểm đối xứng với A qua M. Điểm B di chuyển trên đường nào?

Lời giải:

Kẻ AK ⊥ d,BH ⊥ d

Vì M thay đổi trên d, B đối xứng với A qua M nên AM = MB

Xét tam giác vuông AKM và BHM. Ta có: ∠(AKM ) = ∠(BHM ) = 90^o

AM = MB ( chứng minh trên)

∠(AMK ) = ∠(BMH ) ( đối đỉnh)

Do đó ΔAKM = ΔBHM ( cạnh huyền,góc nhọn) ⇒ AK = BH

Điểm A cố định, đường thẳng d cố định nên AK không đổi.

M thay đổi, B thay đổi cách đường thẳng d cố định một khoảng bằng AK không thay đổi nên B chuyển động trên đường thẳng xy song song với d và cách d một khoảng bằng AK.

Bài 129 trang 96 SBT Toán 8 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy. Vẽ về một phía của AB các tam giác đều AMD, BME. Trung điểm I của DE di chuyển trên đường nào?

Lời giải:

Gọi C là giao điểm của AD và BE.

Tam giác ABC có:

      ∠A = 60^o (vì ΔADM đều)

       ∠B = 60^o ( vì ΔBEM đều)

Nên ∠C = 180^o - ∠A - ∠B = 60^o

Suy ra: ΔABC đều hay AB = AC = BC

Suy ra điểm C cố định.

Lại có: ∠A = ∠(EMB ) = 60^o

ME // AC ( vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

Hay ME // CD.

Do ∠DMA = ∠BEM = 60^o ( hai tam giác AMD và BME là tam giác đều )

Suy ra: MD // BC ( vì có cặp góc so le trong bằng nhau ).

hay MD // EC

suy ra tứ giác CDME là hình bình hành.

I là trung điểm của DE nên I là trung điểm của CM

Kẻ CH ⊥ AB,IK ⊥ AB⇒IK // CH

Trong ΔCHM,ta có:CI = IM và IK // CH

Suy ra IK là đường trung bình của ΔCHM⇒IK = 1/2 CH

Vì C cố định nên CH không đổi ⇒ IK = 1/2 CH không đổi nên I chuyển động trên đường thẳng song song với AB, cách AB một khoảng bằng 1/2 CH

Khi M trùng với A thì I trùng với trung điểm P của AC.

Khi M trùng với B thì I trùng với trung điểm Q của BC.

Vậy khi M chuyển động trên đoạn thẳng AB thì I chuyển động trên đoạn PQ ( P là trung điểm AC, Q là trung điểm BC).

Bài 130 trang 96 SBT Toán 8 Tập 1: Hình chữ nhật ABCD có cạnh AD bằng nửa đường chéo AC. Tính góc nhọn tạo bới hai đường chéo.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Ta có: AC = BD ( tính chất hình chữ nhật) ⇒ OA = OD = 1/2 AC

Lại có: AD = 1/2 AC (gt)

Suy ra: OA = OD = AD

⇒ ΔOAD đều ⇒∠(AOD ) = 60^o

Bài 131 trang 96 SBT Toán 8 Tập 1: Dựng hình chữ nhật ABCD biết đường chéo AC = 4cm, góc tạo bởi hai đường chéo bằng 100^o.

Lời giải:

* Cách dựng:

- Dựng ΔOAB biết OA = OB = 2cm, ∠(AOB ) = 100^o

- Trên tia đối tia OA dựng điểm C sao cho OC = OA = 2cm

- Trên tia đối tia OB dựng điểm D sao cho OD = OB = 2cm

Nối AD, BC, CD ta có hình chữ nhật ABCD cần dựng

* Chứng minh:

Ta có: OA = OC, OB = OD

Suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.

Vì AC = BD = 4 (cm) nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Bài 10.1 trang 96 SBT Toán 8 Tập 1: Tập hợp giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD có A và B cố định là

A. Đường trung trực của AD;

B. Đường trung trực của AB;

C. Đường trung trực của BC;

D. Đường tròn (A; AB)

Hãy chọn phương án đúng.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật.

Suy ra: OA = OB ( tính chất đường chéo của hình chữ nhật)

Suy ra: O thuộc đường trung trực của AB.

Chọn B.

Bài 10.2 trang 96 SBT Toán 8 Tập 1: Cho góc xOy cố định khác góc bẹt. Các điểm A và B theo thứ tự chuyển động trên các tia Ox và Oy sao cho OA = OB. Đường vuông góc với OA tại A và đường vuông góc với OB tại B cắt nhau ở M. Điểm M chuyển động trên đường nào ?

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông MOA và MOB: ∠(MAO) = ∠(MBO) = 90^o

OA = OB (gt)

OM cạnh huyền chung

Do đó: ΔMAO = ΔMBO (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

⇒∠(AOM) = ∠(BOM)

A và B thay đổi, OA và OB luôn bằng nhau nên ΔMAO và ΔMBO luôn luôn bằng nhau do đó ∠(AOM) = ∠(BOM)

Vậy khi A chuyển động trên Ox, B chuyển động trên Oy mà OA = OB thì điểm M chuyển động trên tia phân giác của góc xOy.

Bài 10.3 trang 96 SBT Toán 8 Tập 1: Xét các hình bình hành ABCD có cạnh AD cố định, cạnh AB = 2cm. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Điểm I chuyển động trên đường nào ?

Lời giải:

Gọi K là trung điểm của cạnh AD.

ta có AD cố định nên điểm K cố định.

Trong ΔABD ta có:

IB = ID (tính chất hình bình hành)

KA = KD (theo cách vẽ)

nên KI là đường trung bình của ΔABD

⇒ KI = 1/2 AB = 1/2.2 = 1 (cm) (tính chất đường trung bình của tam giác)

B và C thay đổi thì I thay đổi luôn cách điểm K cố định một khoảng không đổi nên I chuyển động trên (K; 1 cm)

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, chi tiết khác:

• Bài 11: Hình thoi
• Bài 12: Hình vuông
• Ôn tập chương 1 - Phần Hình học
• Bài 1: Đa giác. Đa giác đều

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập sgk Toán 8
• Lý thuyết & 700 Bài tập Toán 8 (có đáp án)
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---