Bài 3 trang 199 SBT Hình học 11

---

---

Bài 3 trang 199 Sách bài tập Hình học 11: Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABC).

a) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng

c) Chứng minh rằng (S_SBC)² = (S_HBC). (S_ABC) và

(S_ABC)² = (S_SAB)² + (S_SBC)² + (S_SCA)²

d) Chứng minh rằng

SG² = (SA² + SB² + SC²)/9 (G là trọng tâm của tam giác ABC) và

(AB + BC + CA)² ≤ 6(SA² + SB² + SC²).

e) Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn và

SA²tanA = SB²tanB = SC²tanC = 2S_ABC

Lời giải:

a) Ta chứng minh: CH ⊥ AB & AH ⊥ BC

Ta có: AB ⊥ SC (do SH ⊥ (ABC)) & AB ⊥ SH (do SC ⊥ (SAB))

⇒ AB ⊥ (SCH) ⇒ AB ⊥ CH (1)

Tương tự, ta có BC ⊥ (SAH) nên AH ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) cho ta H là trực tâm ΔABC.

b) Giả sử CH kéo dài cắt AB tại C’, ta có

AB ⊥ CC' (do H là trực tâm) & AB ⊥ SC' (do AB ⊥ (SCH))

Trong tam giác SCC’, ta có

Mà SC’ là đường cao trong tam giác vuông SAB nên

Tương tự, ta có (S_SCA )² = S_HCA. S_ABC (7)

(S_SAB )² = S_HAB. S_ABC (8)

Cộng (6), (7), (8) vế theo vế, ta có

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

2AB. BC ≤ AB² + BC²

2CA. AB ≤ CA² + AB²

2BC. CA ≤ BC² + CA²

Suy ra (AB + BC + CA)² = AB² + BC² + CA² + 2(AB.BC + BC.CA + CA.AB)

           ≤ 3(AB² + BC² + CA²)

           ≤ 3(SA² + SB² + SB² + SC² + SC² + SA²)

           ≤ 6(SA² + SB² + SC²).

e) Đặt SA = a, SB = b, SC = c

Trong ΔABC, ta có:

Tương tự cosB > 0, cosC > 0.

Vậy ΔABC có ba góc nhọn.

Mặt khác, ta có:

= (a² + b²)(a² + c²) - a⁴ = a² b² + b² c² + c² a²

= 4(S_SAB² + S_SBC² + S_SCA²) = 4(S_ABC)²

⇒ SA²tanA = 2S_ABC.

Tương tự, ta có: SB²tanB = SC²tanC = 2S_ABC.

Vậy SA²tanA = SB²tanB = SC²tanC = 2S_ABC.

Các bài giải sách bài tập Hình học 11 khác:

• Bài 4 trang 200 Sách bài tập Hình học 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình....
• Bài 5 trang 200 Sách bài tập Hình học 11: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD....
• Bài 6 trang 200 Sách bài tập Hình học 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình....
• Bài tập trắc nghiệm trang 201, 202, 203, 204, 205 Sách bài tập Hình học 11: Bài 1: Cho hai điểm phân biệt A, B và đường thẳng d....

---

---

---