Bài 8 trang 37 Chuyên đề Toán 12 Cánh diều

Trang trước Trang sau

Bài 8 trang 37 Chuyên đề Toán 12: Một doanh nghiệp dự định sản xuất các hộp đựng nước giải khát có dạng hình trụ với dung tích là 500 cm³ (Hình 5). Hãy tính bán kính đáy và chiều cao của chiếc hộp để diện tích vỏ hộp là nhỏ nhất (Hình 6).

Lời giải:

Chiều cao h của hộp đựng nước có dạng hình trụ là: $h = \frac{500}{π r^{2}}$ (cm).

Diện tích mặt đáy của hộp đựng nước là: S_đáy = πr² (cm²).

Diện tích xung quanh của hộp đựng nước là:

$S_{x q} = 2 π r h = 2 π r \cdot \frac{500}{π r^{2}} = \frac{1 000}{r}$ (cm²).

Diện tích vỏ hộp (diện tích toàn phần tất cả các mặt của hộp) là:

$S = 2 π r^{2} + \frac{1 000}{r} {(cm}^{2}).$

Xét hàm số $S (r) = 2 π r^{2} + \frac{1 000}{r},$ r ∈ (0; +∞).

Ta có $S^{'} (r) = 4 π r - \frac{1 000}{r^{2}} .$

Do đó $S^{'} (r) = 0 \Leftrightarrow 4 π r - \frac{1 000}{r^{2}} = 0 \Leftrightarrow r^{3} = \frac{1 000}{4 π} \Leftrightarrow r = \frac{10}{\sqrt[3]{4 π}} .$

Bảng biến thiên của hàm số:

Bài 8 trang 37 Chuyên đề Toán 12 Cánh diều

Căn cứ bảng biến thiên, ta có $\min_{(0; + \infty)} S (r) \approx 348, 73$ tại $r = \frac{10}{\sqrt[3]{4 π}} .$

Vậy để diện tích vỏ hộp là nhỏ nhất thì bán kính của chiếc hộp là $r = \frac{10}{\sqrt[3]{4 π}} (cm)$ và chiều cao của chiếc hộp là $h = \frac{500}{π {(\frac{10}{\sqrt[3]{4 π}})}^{2}} = \frac{500}{π \cdot \frac{100}{{(\sqrt[3]{4 π})}^{2}}} = \frac{5 {(\sqrt[3]{4 π})}^{2}}{π} (cm).$

Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học