Giải bài 4 trang 50 sgk Hình học 12

Bài 4 (trang 50 SGK Hình học 12): Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên SA, SB, SC. Mặt cầu này còn tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.

Lời giải:

Giải bài 4 trang 50 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Gọi mặt cầu đã cho có tâm O và bán kính R.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC và CA.

Gọi I,J và K lần lượt là tiếp điểm của các cạnh bên SA, SB, SC với mặt cầu:

+ Từ giả thiết ta suy ra: OI ⊥ SA; OM ⊥ AB

Xét tam giác OIA và tam giác OMA có:

⇒ ∆ OIA = ∆OMA ( ch- cgv)

⇒ AM = AI.

Chứng minh tương tự có: BM= BJ và SI = SJ (1)

Mà AM = BM nên AI= BJ ; (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SI+IA = SJ + BJ hay SA = SB (3)

* Chứng minh tương tự, ta có SB= SC (4).

Từ (3) và (4) suy ra: SA = SB = SC (*)

Mặt khác ; BM = BN (= BJ) và CN = CP (= CK)

Suy ra; AB = 2BM = BC = 2 CN = 2CP = CA

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều (**)

Từ (*) và (**) suy ra, S. ABC là hình chóp tam giác đều.

Các bài giải bài tập Hình học 12 Ôn tập chương 2 khác :

Các bài giải Hình học 12 Chương 2 khác:

Trang trước

Trang sau

on-tap-chuong-2-hinh-hoc-12.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác